왜 서양 음계는 12중에서 7개를 골라 사용할까?
우리나라에서는 5개의 음을 골라 사용하였을까?
바이올린은 유리수, 피아노는 무리수?
두 음의 진동수 비가 1:2가 되면 1 옥타브(또는 완전8도) 음정이라고 하며
공명이 가장 잘 되는 비율이기 때문에 같은 계명으로 동일시 한다.
두 음의 진동수 비가 2:3이 되면 "도" 와 "솔" 사이의 음정이 되는데
이 음정은 "완전5도"라는 음정으로 1 옥타브 음정을 제외하고는 가장 공명이 잘 되는 음정이다.
위 두 음정을 포함하여 1 옥타브 내의 다른 음들을 계단식으로
10개 내외(m개)로 정해 보려고 한다. 1 계단을 올라가는 진동수 비율 p=2(1/m) 로 m계단을
올라가면 진동수 비 p를 m번 곱하여 pm= (2(1/m))m = 21 = 2 로 1옥타브(진동수 비=2)를
올라가게 된다. 여기서 n계단(n < m)만 올라간 경우 pn= 3/2 로 진동수 비가 3/2 가 되어
준다면 완전5도 음정도 우리의 음의 계단에 포함될 수 있는 것이다.
즉 (2(1/m))n=3/2 다시말하면 2(n/m)=3/2 가 되는 자연수 n과 m 을 찾아야 한다.
하지만 2q=3/2 가 되는 수 q는 자연수의 비 q=n/m으로 나타낼 수 없는
q=log2(3/2)라는 무리수이다. 이 수 q는 1/2, 3/5, 7/12, 24/41, ...
의 유리수들의 수열로 근사시켜 나갈 수 있다.
따라서 1 옥타브를 대강
(m= 5)개로 나누면 (n= 3)번째 음이 "솔"에 근사하고
(m=12개)로 나누면 (n= 7)번째 음이 "솔"에 근사한다.
(m=41개)로 나누면 (n=24)번째 음이 "솔"에 근사한다.
서양 음계가 (m=12)개를 사용하게 된 수학적인 이유가 되는 것이다.
물론 (m=41)개도 사용해도 되지만 너무 많아서 곤란하다.
그러면 왜 12개의 음중에서 7개만 사용하고 있을까?
12개 중에서 몇 개를 사용하느냐에 수학적 이유는 없지만 간단한 진동수비의 음정을
사용할수록 더 좋은 화음을 이룬다.
고대 그리이스의 피타고라스는 대장간에서 나는 소리를 듣고 아래와 같은 7개로 구성된 음계를
만들었다고 한다. 괄호 안은 진동수 비율인데 대장간의 소리내는 물건들의 질량비와 관계된다고 한다.
도(1) 레(9/8) 미(81/64) 파(4/3) 솔(3/2) 라(27/16) 시(243/128) 도(2)
프톨레마우스는 좀 더 간단한 진동수 비로 대치하여 순정율이라는 것을 만들었다.
도(1) 레(9/8) 미(5/4) 파(4/3) 솔(3/2) 라(27/16) 시(15/8) 도(2)
서양음악에서도 "파"와 "시"를 뺀 5개의 음을 사용하기도 하는데 이것은 우리나라의
"평조"(솔라도레미;장조)나 "계면조"(라도레미솔;단조)와 같은 진동수 비의 음들이라 할 수 있다.
위 7단계의 음계에서는 미-파 사이와 시-도 사이는 짧고 다른 사이들은 긴데
긴 음정 사이에 음들을 하나씩 넣으면 전체 12음이 된다.
이 12음들의 간격이 대강 비슷하지만 약간의 편차들이 있어서
어떤 노래(멜로디)를 위나 아래로 평행이동(조옮김)을 하면
노래(멜로디)가 원래의 것과 달라지게 되는 불편한 점이 있다.
그래서 17세기 메르센이라는 수학자가 평균율을 제안하였다.
즉 1 옥타브를 일정하게 12개로 나누자는 것이다.
그러면 음 간격이 정수의 비가 되지 않고 정수 비에 근사한 무리수의 비가 된다.
하지만 그런대로 인간의 귀에 정수 비랑 비슷하게 들리기 때문에
오늘날에는 이 평균율이 보편화 되었고 특히 피아노는 이 평균율로 조율이 되어 있다.
평균율에서는 으뜸음 "도"에서 시작하여 진동수 비가 대략 3/2가 되는 음정으로
계속 음을 쌓아 올려 나가면
도 솔 레 라 미 시 파# 도# 솔# 레# 라# 파 도
로 이어진다. 진동수 비가 2(= 1 옥타브)가 넘을 때는 2로 나누어 다시 1 옥타브
내로 가져 온다.
한편 바이올린의 4 줄은
솔 레 라 미
로 각 줄 간에 완전5도(3/2 의 진동수 비)로 조율이 되어 있어서
유리수 진동수 비를 갖고 있다고 볼 수 있다
화성학의 근본원리인 배음에 대해 알아 보자.
배음이란 어떤 기준음의 진동수의 정수배의 진동수를 가진 음들을 뜻한다.
예를 들면 진동수가
261.6Hz(=261.6 x 1) 이면 가온다 의 "도"이고
523.2Hz(=261.6 x 2) 이면 한옥타브 위 "도"로서 1번째 배음이고
784.8Hz(=261.6 x 3) 이면 한옥타브 위 "솔"로서 2번째 배음이고
1046.4Hz(=261.6 x 4) 이면 두옥타브 위 "도"로서 3번째 배음이고
1308.0Hz(=261.6 x 5) 이면 두옥타브 위 "미"로서 4번째 배음이고
1569.6Hz(=261.6 x 6) 이면 두옥타브 위 "솔"로서 5번째 배음이고
1831.2Hz(=261.6 x 7) 이면 두옥타브 위 "시"로서 6번째 배음이고
2092.8Hz(=261.6 x 8) 이면 세옥타브 위 "도"로서 7번째 배음이다.
3, 4, 5 번째 배음이 같이 울리면 도,미,솔 의 C 코드 화성이 된다.
4, 5, 6 번째 배음이 같이 울리면 미,솔,시 의 Em 코드 화성이 된다.
음악이란 인간의 영혼이 셈을 하는 것을 인식하지 않은 채 셈을 하면서 느끼는 기쁨이다.
-- 라이프니쯔
관속의 공기의 진동
현의 진동
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